Loogikko todisti, ettei matematiikka ole täydellistä, mutta formaali logiikka on


Matematiikan ja logiikan välinen rajanveto on näkynyt Suomen yliopistoissa – tietenkin – tieteenalojen välisenä debattina, koska arvostuksen hankkimisessa kysymys on osittain tiederahoituksista. Tämä kiista räjähti käsiin jo vuosikymmenet sitten, 1930-luvulla, kun Kurt Gödel astui esiin teoreemoineen. Siitä syntyi tieteen sota.

Gödeliä pidetään aitona loogikkona.

Matemaatikot laskevat mielellään, koska ammatti… Jo muinaiset Egyptin pyramidit on laskettu uskomattomalla tarkkuudella sijaintinsa ja suuntansa puolesta, ja ”kirsikka kakun päällä”: suhteessa taivaankappaleiden etäisyyksiin. Logiikan sanotaan alkaneen kunnolla vasta Aristoteleen, antiikin aikoihin.

Matemaattisesti ajattelevien ja loogisesti ajattelevien välinen ero on nykyisinkin merkittävä, mm. suhteessa tieteenharjoitukseen. Gödel oli äärimmäisyysihminen monessa suhteessa, mutta ajattelunsa pelottavan selkeää vastapuolen kannalta. Epätäydellisyysteoreemallaan hän osoitti, että

”jokainen systeemi, joka sisältää luonnolliset luvut ja niiden yhteen- ja kertolaskut, on välttämättä epätäydellinen. Toisin sanoen lukuteoriaa ei koskaan pystytä formalisoimaan ja aksiomatisoimaan siten, että kaikki sen todet väittämät olisivat aksioomista johdettavista. Eräs esimerkki tällaisesta systeemistä, kuten Gödelin artikkelin otsikostakin näkee, on juuri Principia Mathematicassa esitelty formalisoitu aritmetiikka.”

Tuo lause sai matemaatikot voimaan pahoin, ja Gödel itse sai todistuksensa voimasta ja vastavaikutuksista mielenjärkytyksiä, että joutui hulluuden rajamaille.

Parasta mitä Gödel sai aikaan oli todistus formaalin logiikan täydellisyydestä sekä ns. Gödelin numerointi, jota on käytetty Universaalin koneen teoriassa. Tämä nimenomaan avaa mahdollisuuksia tietokoneiden ja automaattisten laitteiden kasvavalle käytölle eri alueille, tietotekniikan arkkitehtuureille ja ohjelmoinnin teorialle. Matematiikka ei koskaan pääse sille tasolle. Logiikan kehittymisen ansiosta syntyi mm. logiikkaohjelmoinnin koulukunta ja symbolinen laskenta, ohjelmointikielet Lisp ja Prolog.

Empiirisen tutkimuksen rajallisuus

Kuvan mietelausessa Gödel esittää, ettei hän arvosta erityisesti empiiristä tiedettä, koska suoraan ja etukäteen päätelty tiede on parempaa kuin jälkikäteen historiasta katsottu. Mielestäni tämä on juuri näin. Tilastollisella tutkimuksella on mahdollista temppuilla, vääntää faktoja siihen suuntaan, että tutkimuksen voisi julkaista. Tiede ei kuitenkaan toimi näin arvokeskeisesti. Mutta kun suunnitellaan ja arvioidaan ilmiöitä etukäteen, tuleville viikoille, vuosille ja sadoille vuosille ja saadaan aikaan hyvää edistystä, on tietenkin mahdollista ottaa se hyöty talteen tänä vastaavana ajanjaksona, eikä niin, että käytetään koko maailmaa koelaboratorioina ja jälkikäteen arvioidaan missä tehtiin aivan väärin, ja missä ei. Ajatuskokeita on monenlaisia, mutta jälkiviisastelu ei tieteessä ole läheskään se arvokkain ja tärkein suuntaus. Viisautta on ymmärtää tulevaisuutta – a priori.